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Class 11 Physics - Chapter: System of Particles and Rotational Motion
Batch 3 of 3: Practice Problems, Numerical Solving & Question Bank
Batch 3: Practice Problems & Numerical Solving
How to use this batch: This section contains solved examples, practice problems with variable inputs, multiple-choice questions, and a problem-solving tool. Work through them systematically to master the chapter.
Section 1: Solved NCERT Examples
Problem: Two masses 0.5 kg and 1.0 kg are placed at (0,0) and (1 m, 2 m) respectively. Find the coordinates of the center of mass.
m₁ = 0.5 kg, coordinates (x₁, y₁) = (0, 0)
m₂ = 1.0 kg, coordinates (x₂, y₂) = (1 m, 2 m)
\( x_{COM} = \frac{m_1 x_1 + m_2 x_2}{m_1 + m_2} = \frac{(0.5 \times 0) + (1.0 \times 1)}{0.5 + 1.0} = \frac{1.0}{1.5} = 0.67 \text{ m} \)
\( y_{COM} = \frac{m_1 y_1 + m_2 y_2}{m_1 + m_2} = \frac{(0.5 \times 0) + (1.0 \times 2)}{0.5 + 1.0} = \frac{2.0}{1.5} = 1.33 \text{ m} \)
Coordinates of COM: (0.67 m, 1.33 m)
Problem: A solid cylinder of mass 10 kg and radius 0.25 m rotates about its axis with angular speed 100 rad/s. Calculate its angular momentum.
For rotation about symmetry axis: \( L = I\omega \)
\( I = \frac{1}{2}MR^2 = \frac{1}{2} \times 10 \times (0.25)^2 = \frac{1}{2} \times 10 \times 0.0625 = 0.3125 \text{ kg⋅m}^2 \)
\( L = I\omega = 0.3125 \times 100 = 31.25 \text{ kg⋅m}^2/\text{s} \)
Angular momentum = 31.25 kg⋅m²/s
Section 2: Interactive Practice with Variable Inputs
Practice: Center of Mass of Three Particles
Adjust the masses and positions of three particles. Calculate the COM coordinates.
Torque Calculator
Calculate torque given force, lever arm, and angle.
Section 3: Multiple Choice Questions (MCQs)
Question: The moment of inertia of a body depends on:
Question: A particle is moving with constant velocity. Its angular momentum about a point:
Section 4: Application-Based Problems
Scenario: A diver leaps off a diving board and performs a somersault. Explain how conservation of angular momentum applies to her motion.
Answer: When the diver leaves the board, she has an initial angular momentum (from the push-off). Once airborne, no external torque acts on her (ignoring air resistance). To increase her rotation speed (angular velocity) during a somersault, she tucks her body, decreasing her moment of inertia. By conservation of angular momentum (L = Iω = constant), when I decreases, ω increases → faster rotation. To slow down for entry, she extends her body, increasing I and decreasing ω.
Real-world connection: This principle is used in figure skating, gymnastics, and platform diving.
Scenario: Why is it easier to balance on a moving bicycle than a stationary one?
Answer: The rotating wheels have angular momentum. When the bicycle leans, the angular momentum vector tends to maintain its direction due to gyroscopic effect. This creates a torque that helps bring the bicycle back to upright position. Additionally, the rider can make subtle steering corrections while moving. A stationary bicycle has no angular momentum from wheels, making it unstable.
Section 5: Numerical Problem Solver
Select Problem Type:
Section 6: Chapter Review Questions
Distinguish between translational and rotational motion. Give two examples of each.
Translational Motion: All parts of the body move through same displacement in same time interval. Examples: A car moving straight, a box sliding down incline.
Rotational Motion: Each particle moves in a circle about a fixed axis. Examples: Ceiling fan blades rotating, Earth rotating about its axis.
Combined Motion: Rolling wheel has both translation (of COM) and rotation (about COM).
State and explain the parallel axis theorem with an example.
Parallel Axis Theorem: The moment of inertia of a body about any axis is equal to the moment of inertia about a parallel axis through its center of mass plus the product of its mass and the square of the distance between the two axes.
\( I = I_{cm} + Md^2 \)
Example: For a rod of mass M and length L:
About center: \( I_{cm} = \frac{1}{12}ML^2 \)
About one end (distance d = L/2): \( I_{end} = I_{cm} + M(L/2)^2 = \frac{1}{12}ML^2 + \frac{1}{4}ML^2 = \frac{1}{3}ML^2 \)
Chapter Summary
Through Batches 1-3, you have covered:
- Batch 1: Center of Mass, Motion of COM, Introduction to Rigid Body Rotation
- Batch 2: Torque, Moment of Inertia, Angular Momentum, Conservation Laws, Rolling Motion
- Batch 3: Problem Solving Techniques, Numerical Practice, Application Questions
You are now prepared for exams and have developed a strong conceptual understanding of rotational dynamics.
बैच 3: अभ्यास प्रश्न एवं संख्यात्मक समाधान
इस बैच का उपयोग कैसे करें: इस खंड में हल किए गए उदाहरण, परिवर्तनशील इनपुट वाले अभ्यास प्रश्न, बहुविकल्पीय प्रश्न और एक समस्या-समाधान उपकरण शामिल हैं। अध्याय में महारत हासिल करने के लिए उन्हें व्यवस्थित रूप से हल करें।
खंड 1: हल किए गए NCERT उदाहरण
प्रश्न: दो द्रव्यमान 0.5 kg तथा 1.0 kg क्रमशः (0,0) तथा (1 m, 2 m) पर रखे गए हैं। द्रव्यमान केंद्र के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।
m₁ = 0.5 kg, निर्देशांक (x₁, y₁) = (0, 0)
m₂ = 1.0 kg, निर्देशांक (x₂, y₂) = (1 m, 2 m)
\( x_{COM} = \frac{m_1 x_1 + m_2 x_2}{m_1 + m_2} = \frac{(0.5 \times 0) + (1.0 \times 1)}{0.5 + 1.0} = \frac{1.0}{1.5} = 0.67 \text{ m} \)
\( y_{COM} = \frac{m_1 y_1 + m_2 y_2}{m_1 + m_2} = \frac{(0.5 \times 0) + (1.0 \times 2)}{0.5 + 1.0} = \frac{2.0}{1.5} = 1.33 \text{ m} \)
द्रव्यमान केंद्र के निर्देशांक: (0.67 m, 1.33 m)
खंड 2: परिवर्तनशील इनपुट के साथ इंटरएक्टिव अभ्यास
बल आघूर्ण कैलकुलेटर
बल, भुजा एवं कोण दिए जाने पर बल आघूर्ण की गणना करें।
खंड 3: बहुविकल्पीय प्रश्न (MCQs)
प्रश्न: किसी पिण्ड का जड़त्व आघूर्ण निर्भर करता है:
खंड 4: अनुप्रयोग-आधारित समस्याएं
परिस्थिति: एक गोताखोर डाइविंग बोर्ड से छलांग लगाता है और एक सोमरसोल्ट (कलाबाजी) करता है। बताइए कि कोणीय संवेग का संरक्षण उसकी गति पर कैसे लागू होता है।
उत्तर: जब गोताखोर बोर्ड से छलांग लगाता है, उसका प्रारंभिक कोणीय संवेग (धक्के से) होता है। हवा में रहने के दौरान, उस पर कोई बाह्य बल आघूर्ण नहीं लगता (वायु प्रतिरोध को नगण्य मानते हुए)। सोमरसोल्ट के दौरान अपने घूर्णन की गति (कोणीय वेग) बढ़ाने के लिए, वह शरीर को समेटता है, जिससे उसका जड़त्व आघूर्ण कम हो जाता है। कोणीय संवेग के संरक्षण (L = Iω = नियत) के अनुसार, जब I घटता है, तो ω बढ़ता है → तेज घूर्णन। प्रवेश के लिए गति धीमी करने के लिए, वह शरीर को फैलाता है, I बढ़ाता है और ω घटाता है।
खंड 5: अध्याय समीक्षा प्रश्न
स्थानांतरीय एवं घूर्णी गति में अंतर स्पष्ट कीजिए। प्रत्येक के दो उदाहरण दीजिए।
स्थानांतरीय गति: पिण्ड के सभी कण समान समय अंतराल में समान विस्थापन से गुजरते हैं। उदाहरण: सीधी चलती कार, ढलान पर फिसलता डिब्बा।
घूर्णी गति: प्रत्येक कण एक निश्चित अक्ष के परितः वृत्त में गति करता है। उदाहरण: घूमते छत के पंखे के पंखे, अपनी धुरी के परितः घूमती पृथ्वी।
संयुक्त गति: लुढ़कते पहिए में दोनों गतियाँ होती हैं - स्थानांतरण (द्रव्यमान केंद्र का) एवं घूर्णन (द्रव्यमान केंद्र के परितः)।
अध्याय सारांश
बैच 1-3 के माध्यम से, आपने निम्नलिखित को कवर किया है:
- बैच 1: द्रव्यमान केंद्र, द्रव्यमान केंद्र की गति, दृढ़ पिण्ड घूर्णन का परिचय
- बैच 2: बल आघूर्ण, जड़त्व आघूर्ण, कोणीय संवेग, संरक्षण नियम, लुढ़कन गति
- बैच 3: समस्या समाधान तकनीक, संख्यात्मक अभ्यास, अनुप्रयोग प्रश्न
अब आप परीक्षाओं के लिए तैयार हैं और आपने घूर्णी गतिकी की एक मजबूत वैचारिक समझ विकसित की है।