Willer Academy, Khushi Tola, Bettiah
Class 11 Physics - Chapter: System of Particles and Rotational Motion
Batch 2 of 3: Rotational Dynamics & Angular Concepts
Batch 2: Rotational Dynamics - Torque, Inertia & Angular Momentum
Connecting to Batch 1: We learned that a rigid body's motion = Translation of COM + Rotation about an axis. Now we explore the causes and mathematics of rotation.
2.1 Torque (τ) - The Rotational Analog of Force
Definition: Torque (or moment of force) measures the tendency of a force to cause rotation about a specific axis or pivot. It depends on the magnitude of force, point of application, and direction.
Vector Form: \( \vec{\tau} = \vec{r} \times \vec{F} \)
Where: r = position vector from pivot to point of force application, F = force vector, θ = angle between r and F.
Interactive: Torque on a Wrench
Adjust force magnitude, direction, and application point. Observe how torque changes.
τ = r × F × sinθ = 0.3 m × 50 N × sin(90°) = 15.0 N⋅m
Example: Opening a Door
Why is it easier to open a door by pushing at the edge far from the hinges rather than near them?
Analysis: The hinge is the pivot. Torque τ = rFsinθ. For same force F and angle (θ=90°), r is larger when pushing at the edge → larger torque → easier rotation.
2.2 Moment of Inertia (I) - Rotational Analog of Mass
Definition: Moment of inertia is the measure of a body's resistance to angular acceleration. It depends not only on mass but on how that mass is distributed relative to the axis of rotation.
For continuous bodies: \( I = \int r^2 dm \)
Moment of Inertia for Different Shapes & Axes
I = (1/12)ML² = (1/12) × 2 kg × (1.0 m)² = 0.167 kg⋅m²
Key Insight: For the same mass, bodies with mass distributed farther from the axis have larger moment of inertia (harder to rotate). Example: A flywheel vs. a solid sphere of same mass.
Important Theorems for Moment of Inertia
| Theorem | Statement | Application Example |
|---|---|---|
| Perpendicular Axes (For planar bodies) |
\( I_z = I_x + I_y \) where x, y are in-plane axes and z is perpendicular. |
For a disc: \( I_{\text{diameter}} = \frac{1}{4}MR^2 \), so \( I_{\text{center, perpendicular}} = 2 \times \frac{1}{4}MR^2 = \frac{1}{2}MR^2 \) |
| Parallel Axes (For any body) |
\( I = I_{cm} + Md^2 \) where \( I_{cm} \) is about COM axis, d is distance between axes. |
Rod about end: \( I_{\text{end}} = I_{\text{center}} + M(L/2)^2 = \frac{1}{12}ML^2 + \frac{1}{4}ML^2 = \frac{1}{3}ML^2 \) |
2.3 Angular Momentum (L) - Rotational Analog of Linear Momentum
Definition: Angular momentum is the rotational equivalent of linear momentum. For a rotating body, it's a measure of the "amount of rotational motion."
For rigid body rotation: \( L = I\omega \)
Relation with Torque: \( \vec{\tau} = \frac{d\vec{L}}{dt} \) (Rotational form of Newton's II Law)
Example: Figure Skater Spinning
Why does a figure skater spin faster when she pulls her arms in?
Analysis: With negligible external torque (ice friction is minimal), angular momentum is conserved (L = Iω = constant). Pulling arms in decreases moment of inertia (I). To keep L constant, angular velocity (ω) must increase → faster spin!
2.4 Conservation of Angular Momentum
Law: If the net external torque on a system is zero, the total angular momentum of the system remains constant.
If \( \sum \vec{\tau}_{ext} = 0 \), then \( \vec{L}_{initial} = \vec{L}_{final} \) or \( I_1\omega_1 = I_2\omega_2 \)
Interactive: Conservation of Angular Momentum
Simulate a spinning skater. Change her moment of inertia by adjusting arm position.
Initial: L = I₁ω₁ = (1.0 × Icore) × 2.0 rad/s = 2.0 Icore
Final: ω₂ = L / I₂ = (2.0 Icore) / (1.0 × Icore) = 2.0 rad/s
📺 Appliances & Daily Life Examples (Part 2)
- Ceiling Fan Speed Control: When you reduce the speed with a regulator, you're effectively reducing the torque supplied by the motor, decreasing angular acceleration.
- Bicycle Wheel Stability: A spinning bicycle wheel resists changes to its orientation (angular momentum direction), making the bicycle stable when moving.
- Gyroscope in Smartphones: Uses the principle of conservation of angular momentum to detect orientation changes.
- Diving: Divers tuck their bodies to decrease moment of inertia and increase spin rate during flips.
- Helicopter Tail Rotor: Without the tail rotor, the helicopter body would spin opposite to the main rotor due to conservation of angular momentum (Newton's 3rd law in rotation).
2.5 Rolling Motion - Combined Translation & Rotation
Pure rolling (without slipping) occurs when the point of contact with the surface is instantaneously at rest.
Condition for pure rolling: \( v_{cm} = R\omega \) (where R is radius)
Thinking Question: Race Down an Incline
A solid sphere, a solid cylinder, and a hollow cylinder (all with same mass and radius) roll down an incline from the same height. Which reaches the bottom first?
Analysis: The object with smallest moment of inertia will have greatest translational acceleration. Order: Solid sphere (I=2/5 MR²) → Solid cylinder (I=1/2 MR²) → Hollow cylinder (I=MR²). So sphere wins, hollow cylinder last.
Batch 2 Summary: You've learned the core rotational dynamics concepts: Torque (causes rotation), Moment of Inertia (rotational mass), Angular Momentum (rotational momentum), and their conservation. You've also seen how translation and rotation combine in rolling motion.
Next in Batch 3: Comprehensive question bank, numerical problem-solving techniques, application-based questions, and interactive practice with variable inputs.
बैच 2: घूर्णी गतिकी - बल आघूर्ण, जड़त्व आघूर्ण एवं कोणीय संवेग
बैच 1 से संबंध: हमने सीखा कि दृढ़ पिण्ड की गति = द्रव्यमान केंद्र का स्थानांतरण + किसी अक्ष के परितः घूर्णन। अब हम घूर्णन के कारणों और गणित का अध्ययन करेंगे।
2.1 बल आघूर्ण (τ) - बल का घूर्णी समरूप
परिभाषा: बल आघूर्ण (या बल का आघूर्ण) किसी विशिष्ट अक्ष या धुरी के परितः घूर्णन उत्पन्न करने की बल की प्रवृत्ति का माप है। यह बल के परिमाण, अनुप्रयोग बिंदु एवं दिशा पर निर्भर करता है।
सदिश रूप: \( \vec{\tau} = \vec{r} \times \vec{F} \)
जहाँ: r = धुरी से बल अनुप्रयोग बिंदु तक स्थिति सदिश, F = बल सदिश, θ = r एवं F के बीच का कोण।
महत्वपूर्ण: अधिकतम बल आघूर्ण तब प्राप्त होता है जब बल लंबवत (θ=90°) लगाया जाता है। बल कार्य रेखा यदि धुरी से गुजरती है (r=0 या θ=0), तो बल आघूर्ण शून्य होता है।
2.2 जड़त्व आघूर्ण (I) - द्रव्यमान का घूर्णी समरूप
परिभाषा: जड़त्व आघूर्ण किसी पिण्ड के कोणीय त्वरण का प्रतिरोध करने का माप है। यह केवल द्रव्यमान पर ही नहीं, बल्कि उस द्रव्यमान के घूर्णन अक्ष के सापेक्ष वितरण पर भी निर्भर करता है।
सतत पिण्डों के लिए: \( I = \int r^2 dm \)
जड़त्व आघूर्ण के लिए महत्वपूर्ण प्रमेय
| प्रमेय | कथन | उदाहरण |
|---|---|---|
| लंबवत अक्ष (समतलीय पिण्डों हेतु) |
\( I_z = I_x + I_y \) जहाँ x, y समतल में अक्ष हैं तथा z लंबवत अक्ष है। |
चकती के लिए: \( I_{\text{व्यास}} = \frac{1}{4}MR^2 \), अतः \( I_{\text{केंद्र, लंबवत}} = 2 \times \frac{1}{4}MR^2 = \frac{1}{2}MR^2 \) |
| समांतर अक्ष (किसी भी पिण्ड हेतु) |
\( I = I_{cm} + Md^2 \) जहाँ \( I_{cm} \) द्रव्यमान केंद्र से गुजरने वाले अक्ष के परितः है, d अक्षों के बीच दूरी है। |
छड़ के सिरे के परितः: \( I_{\text{सिरा}} = I_{\text{केंद्र}} + M(L/2)^2 = \frac{1}{12}ML^2 + \frac{1}{4}ML^2 = \frac{1}{3}ML^2 \) |
2.3 कोणीय संवेग (L) - रेखीय संवेग का घूर्णी समरूप
परिभाषा: कोणीय संवेग, रेखीय संवेग का घूर्णी समतुल्य है। घूर्णन करते पिण्ड के लिए, यह "घूर्णी गति की मात्रा" का माप है।
दृढ़ पिण्ड घूर्णन के लिए: \( L = I\omega \)
बल आघूर्ण से संबंध: \( \vec{\tau} = \frac{d\vec{L}}{dt} \) (न्यूटन के द्वितीय नियम का घूर्णी रूप)
2.4 कोणीय संवेग का संरक्षण
नियम: यदि किसी निकाय पर कार्यरत कुल बाह्य बल आघूर्ण शून्य है, तो निकाय का कुल कोणीय संवेग नियत रहता है।
यदि \( \sum \vec{\tau}_{ext} = 0 \), तब \( \vec{L}_{initial} = \vec{L}_{final} \) या \( I_1\omega_1 = I_2\omega_2 \)
उदाहरण: बर्फ पर सर्पिल (फिगर स्केटर)
जब कोई फिगर स्केटर अपनी भुजाओं को शरीर के पास समेटता/समेटती है, तो वह तेजी से क्यों घूमने लगता/लगती है?
विश्लेषण: नगण्य बाह्य बल आघूर्ण (बर्फ का घर्षण नगण्य) के साथ, कोणीय संवेग संरक्षित रहता है (L = Iω = नियत)। भुजाओं को समेटने से जड़त्व आघूर्ण (I) घट जाता है। L को नियत रखने के लिए, कोणीय वेग (ω) को बढ़ाना होगा → तेज सर्पिल!
📺 उपकरण एवं दैनिक जीवन के उदाहरण (भाग 2)
- सीलिंग फैन की गति नियंत्रण: जब आप रेगुलेटर से गति कम करते हैं, तो आप मोटर द्वारा आपूर्ति किए जा रहे बल आघूर्ण को प्रभावी रूप से कम कर रहे होते हैं, जिससे कोणीय त्वरण कम हो जाता है।
- गायरोस्कोप सिद्धांत: स्मार्टफोन में अभिविन्यास परिवर्तन का पता लगाने के लिए कोणीय संवेग के संरक्षण के सिद्धांत का उपयोग करता है।
- गोताखोरी: गोताखोर फ्लिप के दौरान स्पिन दर बढ़ाने के लिए जड़त्व आघूर्ण कम करने हेतु शरीर को समेटते हैं।
- हैलिकॉप्टर टेल रोटर: टेल रोटर के बिना, कोणीय संवेग के संरक्षण के कारण (घूर्णन में न्यूटन का तृतीय नियम) हैलिकॉप्टर का धड़ मुख्य रोटर के विपरीत दिशा में घूमने लगेगा।
बैच 2 सारांश: आपने मुख्य घूर्णी गतिकी अवधारणाएं सीखी हैं: बल आघूर्ण (घूर्णन उत्पन्न करता है), जड़त्व आघूर्ण (घूर्णी द्रव्यमान), कोणीय संवेग (घूर्णी संवेग), और उनका संरक्षण। आपने यह भी देखा है कि कैसे स्थानांतरण और घूर्णन लुढ़कन गति में संयुक्त होते हैं।
बैच 3 में आगे: व्यापक प्रश्न बैंक, संख्यात्मक समस्या-समाधान तकनीकें, अनुप्रयोग-आधारित प्रश्न और परिवर्तनशील इनपुट के साथ इंटरएक्टिव अभ्यास।